MSN 33 — Résoudre des problèmes numériques et algébriques…
- 1…en reconnaissant les caractéristiques mathématiques d'une situation et en la traduisant en écritures numérique ou littérale
- 2…en observant comment les hommes ont résolu historiquement des problèmes de ce type
- 3…en utilisant des propriétés des opérations (+, -, x , :, puissance, racine carrée et cubique)
- 4…en choisissant l'outil de calcul le mieux approprié à la situation proposée
- 5…en mobilisant l'algèbre comme outil de calcul (équations), de preuve ou de généralisation
- 6…en construisant, en exerçant et en utilisant des procédures de calcul (calcul réfléchi, algorithmes, calculatrice, répertoire mémorisé) avec des nombres réels
- 7…en estimant un résultat et en exerçant un regard critique sur le résultat obtenu
- 8…en modélisant une situation de proportionnalité
- 9…en explorant les propriétés de quelques fonctions (linéaire, affine, quadratique,…)
| Progression des apprentissages | Attentes fondamentales | Indications pédagogiques | ||
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| 9e année | 10e année | 11e année | Au cours, mais au plus tard à la fin du cycle, l'élève… | Ressources, indices, obstacles. Notes personnelles |
| Éléments pour la résolution de problèmes ¶ | ||||
| Résolution de problèmes en lien avec les notions étudiées (fonctions, diagrammes, expressions algébriques et équations), notamment : (1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, A, C, D, F, G, H)
| résout des problèmes relatifs aux fonctions, en faisant appel à une ou plusieurs des composantes suivantes :
| Concernant la résolution de problèmes, cf. Remarques spécifiques sous Commentaires généraux MSN La résolution de problèmes ainsi décrite est destinée à s'appliquer aux Progressions d'apprentissage des champs:
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| Résolution de problèmes de proportionnalité (propriétés, facteur de la proportionnalité) : (8) | résout des problèmes de proportionnalité concernant les situations suivantes :
| Pour les élèves, la nécessité de la cohérence des unités peut être difficile à comprendre dans les problèmes d'échelle, où il peut sembler logique d'exprimer la longueur sur le plan en centimètres alors que la longueur réelle se mesure en mètres ou en kilomètres. Dans les problèmes de vitesse, la difficulté provient souvent des unités de temps qui posent des problèmes de transformation | ||
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| Fonctions ¶ | ||||
| Reconnaissance de situations pouvant être modélisées par des fonctions | interprète correctement les données contenues dans un tableau de valeurs ou une représentation graphique réalise une représentation graphique à partir:
détermine une expression fonctionnelle à partir d'un tableau de valeurs dans le cas des fonctions du type : détermine une expression fonctionnelle à partir d'une représentation graphique dans le cas des fonctions du type : x→b, x → ax, x→ax+b (a et b dans | La représentation graphique d'une fonction devrait servir aussi à susciter un certain nombre de questions : comment la courbe se comporte-t-elle entre les points utilisés pour sa construction ? doit-on représenter la fonction par une ligne continue ou non ? que se passe-t-il au-delà des valeurs qu'on peut lire sur la représentation ? Ces questions reviennent entre autre à se demander si l'on a affaire à des variables discrètes ou continues et quel est le domaine de définition de la fonction Pour modéliser une situation et l'exprimer en langage mathématique au moyen d'une fonction, les élèves peuvent se heurter aux difficultés suivantes :
La détermination des coordonnées exactes des points d'intersection de deux graphes permet un lien avec la résolution d'équations | ||
| Lecture et interprétation de tableaux de valeurs, de représentations graphiques (A) | ||||
| Représentation d'une relation où interviennent deux grandeurs variables par :
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| Passage d'une représentation à une autre : (A) | ||||
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x→b, x→ax, x→ax+b, x→ax2 (a et b dans | ||||
x→b, x→ax, x→ax+b, x→ax2 (a et b dans |
x→b, x→ax, x→ax+b, x→ax2, | |||
x→b, x→ax, x→ax+b | ||||
| Diagrammes ¶ | ||||
| Lecture de données (horaires, statistiques,…) et interprétation de diagrammes (A) | interprète correctement les données contenues dans un tableau ou un diagramme représente une situation à l'aide d'un diagramme (Niv 2-3) | Lors de la réalisation de la représentation graphique d'une situation, le choix des grandeurs et des échelles à porter sur les axes peut s'avérer problématique pour bien des élèves | ||
| Réalisation de diagrammes : (A) | ||||
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| Utilisation d'outils appropriés (tableur, grapheur,…) | ||||
| Algèbre – Calcul littéral ¶ | ||||
| Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique (Niv 2s-3s) | Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique (Niv 1s-2-3) | Connaissance et utilisation des règles et conventions usuelles d'écriture algébrique (Niv 1) | substitue des nombres dans une expression littérale (degré ≤3, nombre de lettres ≤3) pour en calculer la valeur élabore des expressions littérales dans des situations numériques ou géométriques (Niv 2-3) effectue des opérations avec des polynômes, par exemple :
| En algèbre, la lettre peut avoir trois statuts différents :
Il faudrait s'efforcer d'invalider de nombreux théorèmes-élève :
Pour les élèves, jusqu'à présent, le signe égal a un sens procédural : c'est l'indication d'un calcul à effectuer Il faut développer la signification relationnelle du signe égal, très importante en algèbre, c'est-à-dire comprendre l'égalité comme identité entre deux expressions (numériques ou littérales) |
| Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( | Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( | |||
| Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( | Détermination de la valeur numérique d'une expression littérale ( | |||
| Élaboration d'expressions littérales à partir : (6, H) | ||||
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| Interprétation d'expressions littérales et identification de celles qui sont équivalentes (Niv 2-3) | ||||
| Connaissance de la terminologie, écriture réduite et ordonnée de : (Niv 2-3) | ||||
- degré ≤3 (Niv 2) - degré ≤6 (Niv 3) |
- à coefficients entiers (Niv 2) | |||
| Opérations sur les polynômes : | ||||
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| Algèbre – Équations ¶ | ||||
| Résolution de problèmes nécessitant le recours à l'algèbre (6, H) | résout un problème après l'avoir traduit :
détermine algébriquement l'ensemble de solutions d'une équation du premier degré, par exemple (Niv 2-3) :
détermine algébriquement l'ensemble de solutions d'un système d'équations du premier degré à deux inconnues, par exemple (Niv 3) :
exprime une des variables d'une formule connue en fonction des autres (Niv 2-3) | Dans une équation apparaît une nouvelle signification du signe égal que l'élève doit apprendre à décoder: l'égalité conditionnelle. L'égalité n'est vraie que pour certaines valeurs de la variable, dans un référentiel donné. La variable devient une inconnue dont on recherche les valeurs pour lesquelles l'égalité est vraie La mise en équation d'un problème, nécessite de manier des quantités inconnues comme si elles étaient connues et de déterminer les relations plus ou moins explicites entre inconnues et données du problème. Cela présente des difficultés supérieures à l'exercice de traduction d'une phrase en langage algébrique Il est parfois plus facile de traduire une situation avec plus d'une inconnue. Les élèves procèdent alors par une substitution intuitive pour parvenir à une équation à une seule inconnue, permettant ainsi de se passer de la résolution formelle d'un système Dans la résolution d'une équation, on procédera également par essais successifs et par voie graphique, en montrant les limites de ces deux méthodes. L'utilisation des règles d'équivalence prend alors tout son sens | ||
| Traduction d'une situation par : (6, H) | ||||
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| Résolution d'équations du premier degré à une inconnue : (6) | ||||
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| Résolution d'un système d'équations du premier degré à deux inconnues à l'aide des méthodes de combinaison linéaire et de substitution (Niv 3) (6) | ||||
| Résolution d'équations du deuxième degré à une inconnue par factorisation ou à l'aide de la formule de Viète (Niv 3) (6) | ||||
| Expression de chacune des variables d'une formule connue en fonction des autres (Niv 2-3) : d = vt ; A = | ||||
)
) 
(a dans 
c = ; x2 + 
= ; x2y-1,5x2y = ; -2a2 + a-7 + 6a2 - 3a = ; y2 . 
= ; 2a (3a)3 = ; x2-(x+1)(x-1) = ; -3,5 (-x + 2) = ; xy2 (y - 5) = ; (x + 2)(
+ 3) = ; (3y2 - 1)(5 - y) = ; (x-y)(x+y)(x+y) =
, 4x +5, abc, x3 …) en substituant des nombres aux variables 
, 4(x+y+z), πr2h …) en substituant des nombres aux lettres 
, 
, πr2h …) en substituant des nombres aux lettres 
= 105
= 4x + 1
…